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分层突破训练答案精解精析显然0为锐角，c0s0=1n1·n212W3In,4√20=6则A,(2,0,2),C(0,4,0),E(2,1,0)小二面角的大小为号(2)S为PD的三等分点（偏点P的位置）.D(0,0,0)证明：连接BD,与AF交于点G,解法二：，EF⊥平面DEC,∴.EF⊥CE,又所以41C=(-2,4,-2),DA=(2,0,2),D由点F是棱BC的中点得BF1=(2,1,0).CE =3,EH ED+DH =6,CHAD-2设平面A,ED的法向量为n=(x,y,z),√CD+DH=35,.CE2+EH=CH,即又BC∥AD,所以BG BF 1CE⊥EH,CE⊥平面HFE,过E作EM⊥GD AD2则有m·DA=0即x+2z=0,令x=1,HF于点M,连接CM在△PBD中，C0SDBG PS1n·DE=0.2x+y=0,则∠EMC即为所求二面角的平面角，CE=,所以SG∥PB则y=-2,z=-1,3,EF=6,HF=6,平面AFS即为平面x,因为PBta,SGC故n=(1,-2,-1),6×3W56EMa,所以PB∥alAC.nl∴.S△EFH=→EM=3√522所以1cos(A,乙，n)1=IA,CIInl,∴.tan∠EMC=CE-331-2-8+21√4+16+4·/1+4+1号故4C与平面石二面角的大小为行4ED所成角的正弦值为3.解析(1)证明：等腰△ABC中，因为CA=CB,O是AB中点，所以C0⊥AB(2)由(1)可知，A(2,0,0),C,(0,4,2),因为平面ABC⊥平面PAB,平面ABCn平F(2,3,0),所以AC,=(-2,4,2),假设存面PAB=AB,COC平面ABC在这样的点P,设P(x,y,2),所以F序=(x所以CO⊥平面PAB又因为PBC平面PAB,所以CO⊥PB.-2,y-3,2),因为FP⊥AC1,所以F市.AC=-2(x-2)+4(y-3)+4=0,所以x=2y-2,(2)取AB的中点D,连接OD,则0C,0B,6.解析(1)证明：如图，取AC的中点0，连又(x-2)2+(y-22=41OD两两垂直且OC=0B=0D=1,所以5y2-20y+接B0,P0.PA=PC,.P0⊥AC以0元，0,0！为单位正交基底，建立空79=0,间直角坐标系0xz,则C(1,0,0),B(0,1,4PA=PC=6,∠APC=90°，.P0=0),55设P(0,a,b),其中a∈(-1,1)，be(0,x=2-x=2+3√2，同理B0=3√2.5解得(舍去)或又PB=6,.P02+0B2=PB2,.P0⊥0B1],则P8=(0,1-a,-b),B=(1,-1,0),y=2、5:AC∩OB=0,AC,OBC平面ABC,∴.PO设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),10y=2+101⊥平面ABC.则/n·P=0,ln·B=0,,2所以当P2+又P0C平面PAC,平面PAC⊥平10,2时，FP⊥AC,面ABC.即1-ay-e=0,(2)如图，建立空间直角坐标系，根据边长x-y=0,取y=b,可得x=b,z=1此时点P到直线A,B,的距离为了关系可知，A(32,0,0),C(-32,0,0),-a,所以n=(b,b,1-a)5.解析(1)证明：取CF中点0，连接G0,B(0,32,0),P(0,0,32),易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,H0,G为CE中点，.C=(32,32,0),C=(32,0,32).1),c0/E,0=三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1因为a∈(-1,1)，所以cos(m,n〉=:2,.PM:BM=1:2,m·r1-a=>0,则H为AD中点，∴DI/EF,DH=2E.M(0,2,22),.Ai=（-32,2,lml·lnl√26+(1-a)22)∴.OG=DH,OG∥DH,.四边形DHOG为1-a,得3(1-a)2=平行四边形设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),√26+(1-a)7Γ7∴.DG∥OH,则32x+3=0.又0P=1,所以a2+b2=1,结合a∈(-1，DG丈平面CFH,OHC平面CFH,.DG32x+3√2z=0,2,6③1),b∈(0,1]，解得a=∥平面CFH令x=1,得n=(1,-1,-1).2(2)解法一：建立如图所示的空间直角坐设直线AM与平面PBC所成的角为0，则所以点P到平面ABC的距离为？标系，，∠FBA=60°BF=3,AF=35,sin6=1os(a成，m1=-62-V422W7x√57C(0,3,6),H(33,0,3),F(0,0,0),F元:.直线AM与平面PBC所成角的正弦值=(0,3,6),FH=(35,0,3),为设平面CHF的法向量为n,=(x,y,z),nF元=0,3+6e=0,(,·Fi=033x+3z=0,令x=1,4.解析(1)以D为原点，DA,DC,DD,所在得1=(1,25，-√3)，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角易知平面HFE的一个法向量为n2=(0,1,坐标系如图所示，0),设二面角C-HF-E的平面角为6，·561·