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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）20.(本小题满分12分)1以.已知2的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有—项近日，ChatGPT引发舆论风暴，火遍全球，如何让ChatGPT为教育所用是教育界不得不面对的新课题.为了更快，更好的熟悉ChatCPT,某校研发了ChatCPT应用于设计课程，协助备课，课堂助教，作业测评，14.将4个不同的小球，放入4个不同的盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为」辅助学习等方面的“学习APp”,供该校所有教师学习使用。该校共有教师1000名，为了解老师们学习的15.已知非零向量a,i满足|a+261=3,且a11≥2，则cos
的最大值为，情况，随机抽取了1O0名教师，在指定的一天统计了这100名教师利用“学习APP”学习ChatCPT技术的16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值A(入≠1)的点P的轨迹时长（单位：min),得到了如图3所示的频率分布直方图.学习时长不低于120min的教师称为“学习积是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，筒称阿氏圆。将“阿氏圆”以AB所在极分子”直线为轴旋转一周即可得“阿氏球”、即空间一动点到空间内两定点的距离之比为定值入（入≠1）的点的轨(1)求统计的这100名教师中“学习积极分子”的人数，并根据频率分布直方图，估计在指定当天教师学习ChatCPT时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）；迹为球，称之为阿波罗尼斯球设M,N是球C(C为球心)球面上两定点，球半径为3且∠MCN=号()(2)(i)由频率分布直方图可知，该校教师在指定当天学习ChatGPT的时长X近似服从正态分布空间中一动点P满足PM=2PN|,可知点P的轨迹为阿氏球，则该球的表面积为；(2)若球N(u,2)(其中u近似为样本平均数，σ取10.8)，求该校教师在指定当天学习ChatGPT的时长位于区间C表面上一动点Q满足|QM=2QN,则点Q的轨迹长度为(第一空2分，第二空3分)(101.2,133.6)内的概率；四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(i)从该校教师中随机选取3人，记3人在指定当天学习ChatGPT的时长不少于130min的人数为Y,用17.(本小题满分10分)0样本中各区间的频率代替每名教师学习ChatCPT的时长位于相应区间的概率，求Y的期望E(Y)】(附：若随机变量X~N(,o),则P(u-g≤X≤μ+o)=0.6827,↑频率已知等差数列{a,}满足a1=2a,-n.0.023组距(1)求{a.}的通项公式；P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545，P(u-3≤X≤u+3o)=0.9973)0.020(2)设6.=(-1)a,求定68810.00690100110120130140150时长/min图318.(本小题满分12分)从①6--2m-:②5am4+n4=56这两个条件中选择一-个，补充在下面向题中，并解答21.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若手子1(60的离心半为号1.写在精国C上过销圆的左点F的直线如图4，椭圆c,9(1)求角C;与椭圆C交于C,D两点，并与y轴交于点M,A,B分别为椭圆的上、下顶点，直线AD与直线BC交于(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,且CD=2,AD=2DB,求△ABC的面积而的09△点N.(1)求椭圆C的标准方程：(2)已知0为坐标原点，当点M异于A,B两点时，求证：O.O示为定值19.(本小题满分12分)如图2，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA1底面ABCD,AB=2,∠BAD=120°，点E是CD的中点，异面直线PE与AC所成角的余弦值为子22.(本小题满分12分)已知函数fx)=e-ax+b.(I)求PA;(1)讨论(x)的单调性；(2)求PE与平面PBD所成角的正弦值.(2)若函数f代x)的图象与x轴相切于原点(i)求f(x)的解析式，并证明：对任意的xeR,f(x)≥0恒成立；(i)若f(x)=xsix在(0，T)上有唯一实根，求实数k的取值范围数学·第4页（共4页）数学·第3页（共4页）第一天+1天日月日